基礎から学ぶ物理 熱力学2 熱力学の第一法則と定積モル比熱・定圧モル比熱

「熱力学」で用いる重要公式
熱力学の第一法則
 Q_{in} = \Delta U_{up} + W_{do}
Q_{in} = 気体が得た熱量
\Delta U_{up} = 気体の内部エネルギーの増えた変化量
  → U = \frac{3}{2} nRT も重要公式。
W_{do} = 気体が外部にした得た仕事量
  → W_ = PV も重要公式。
得たか失ったか、仕事するかされるか、紛らわしいのでキチンと覚えよう!
定積モル比熱・定圧モル比熱
 定積変化において Q = nC_VT
 定圧変化において Q = nC_PT
    ただし、定積モル比熱はどんな状態であれ U=nC_VT として、
    公式を用いることができる
★定積モル比熱と定圧モル比熱★
 熱力学の第一法則を用いて、定積モル比熱 C_V (J/K) と、定圧モル比熱 C_P (J/K) を求めてみよう。
  
 定積変化では、気体の体積が変化せず、W_{do}=0 である。
 また U = \frac{3}{2} nRT である。
 ゆえに、熱力学第一法則より
 Q_{in} = \Delta U_{up} + W_{do} \! =\! \frac{3}{2}nRT  一方で、定積変化では、Q = nC_VT なので、両者を比較すると
 C_V=\frac{3}{2}R    
 定圧変化では、W_{do}=PV であり、さらに PV=nRT である。
 また U = \frac{3}{2} nRT である。
 ゆえに、熱力学第一法則より
 Q_{in} = \Delta U_{up} + W_{do}=\frac{3}{2}nRT+nRT=\frac{5}{2}nRT+nRT  一方で、定積変化では、Q = nC_PT なので、両者を比較すると
 C_V=\frac{5}{2}R
【練習問題】
定積モル比熱 C_V、定圧モル比熱 C_P の気体が n モルある。
体積を一定に保って温度を \Delta T だけ上昇させるとき、
(1) 内部エネルギー \Delta U_1 の上昇分はいくらか。
圧力を一定に保って温度を \Delta T だけ上昇させるとき、
(2) 内部エネルギー \Delta U_2 の上昇分はいくらか。
(3) 気体がした仕事を \Delta T と気体定数 R を用いて表せ。
【解説と解答】
(1) 定積変化なのでW=0  第一法則より Q=\Delta U_1+W=\Delta U_1  また定積モル比熱より Q=nC_V \Delta T  ゆえに \Delta U_1=nC_V \Delta T

(2) U = \frac{3}{2} nRT であり、内部エネルギーは温度で決まる。したがって内部エネルギーの増加=変化量は温度の変化量で決まり、その間の状態変化にはかかわらない。(2)では定圧変化であるが、温度の変化量は (1) と同様に \Delta T なので、内部エネルギーの変化量も等しくなる。
 ゆえに \Delta U_1=\Delta U_2=nC_V \Delta T

(3) 温度を上げる前と後の気体状態方程式を立て、その差を考える。
 気体の体積の変化量を\Delta Vとする。
 前: PV=nRT  後: P(V+ \Delta V)=nR(T+ \Delta T)  2式の差をより P \Delta V=nR \Delta T  W=P \Delta V  2式を比較し、W=nR \Delta T

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