基礎から学ぶ物理　熱力学２　熱力学の第一法則と定積モル比熱・定圧モル比熱

「熱力学」で用いる重要公式

熱力学の第一法則
　 $Q_{in} = \Delta U_{up} + W_{do}$

$Q_{in}$ 　＝　気体が得た熱量
$\Delta U_{up}$ ＝気体の内部エネルギーの増えた変化量
　　→　 $U = \frac{3}{2} nRT$ も重要公式。
$W_{do}$ ＝気体が外部にした得た仕事量
　　→　 $W_ = PV$ も重要公式。
得たか失ったか、仕事するかされるか、紛らわしいのでキチンと覚えよう！

定積モル比熱・定圧モル比熱
　定積変化において $Q = nC_VT$
　定圧変化において $Q = nC_PT$

　　　　ただし、定積モル比熱はどんな状態であれ $U=nC_VT$ として、
　　　　公式を用いることができる

★定積モル比熱と定圧モル比熱★

　熱力学の第一法則を用いて、定積モル比熱 $C_V (J/K)$ と、定圧モル比熱 $C_P (J/K)$ を求めてみよう。
　　

　定積変化では、気体の体積が変化せず、 $W_{do}=0$ である。
　また $U = \frac{3}{2} nRT$ である。
　ゆえに、熱力学第一法則より
　 $Q_{in} = \Delta U_{up} + W_{do} \! =\! \frac{3}{2}nRT$ 　一方で、定積変化では、 $Q = nC_VT$ なので、両者を比較すると
　 $C_V=\frac{3}{2}R$ 　　　
　定圧変化では、 $W_{do}=PV$ であり、さらに $PV=nRT$ である。
　また $U = \frac{3}{2} nRT$ である。
　ゆえに、熱力学第一法則より
　 $Q_{in} = \Delta U_{up} + W_{do}=\frac{3}{2}nRT+nRT=\frac{5}{2}nRT+nRT$ 　一方で、定積変化では、 $Q = nC_PT$ なので、両者を比較すると
　 $C_V=\frac{5}{2}R$

【練習問題】

定積モル比熱 $C_V$ 、定圧モル比熱 $C_P$ の気体がｎモルある。
体積を一定に保って温度を $\Delta T$ だけ上昇させるとき、
(1) 内部エネルギー $\Delta U_1$ の上昇分はいくらか。
圧力を一定に保って温度を $\Delta T$ だけ上昇させるとき、
(2) 内部エネルギー $\Delta U_2$ の上昇分はいくらか。
(3) 気体がした仕事を $\Delta T$ と気体定数 $R$ を用いて表せ。

【解説と解答】

(1) 定積変化なので $W=0$ 　第一法則より $Q=\Delta U_1+W=\Delta U_1$ 　また定積モル比熱より $Q=nC_V \Delta T$ 　ゆえに　 $\Delta U_1=nC_V \Delta T$

(2) $U = \frac{3}{2} nRT$ であり、内部エネルギーは温度で決まる。したがって内部エネルギーの増加＝変化量は温度の変化量で決まり、その間の状態変化にはかかわらない。(2)では定圧変化であるが、温度の変化量は (1) と同様に $\Delta T$ なので、内部エネルギーの変化量も等しくなる。
　ゆえに　 $\Delta U_1=\Delta U_2=nC_V \Delta T$

(3) 温度を上げる前と後の気体状態方程式を立て、その差を考える。
　気体の体積の変化量を $\Delta V$ とする。
　前：　 $PV=nRT$ 　後：　 $P(V+ \Delta V)=nR(T+ \Delta T)$ 　２式の差をより $P \Delta V=nR \Delta T$ 　 $W=P \Delta V$ 　２式を比較し、 $W=nR \Delta T$